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“……你看，这样就是一个椭圆曲线了。不过不是一般的圆锥曲线中的椭圆，而是域上亏格为1的光滑射影曲线。如果特征不等于2的话，那么仿射方程就是y^2=x^3+ax^2+bx+c。
那个BSD猜想的前置条件你肯定还记得吧？复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面，整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群。阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推广。
所以这个时候我感觉就要把椭圆曲线化成魏尔斯特拉斯形式。这是我看了很多相关理论之后才找到的方法。这种变形就属于很机械的操作，前提条件是方程至少存在一个有理数点。
但显然这一步是成立的，之前我们已经证明了，所以我们就能得到这两个公式……”
乔喻一边说，一边在小桌板上用笔写着。
兰杰则认真听着，脖子脖子伸得老长，去看乔喻的整体解题过程，以及随手用坐标系画出的平面图。
“……很显然，我们现在得到了一条有着两个实部的经典椭圆曲线。右边的线，明显是连续延伸至正负无穷，左边的封闭椭圆曲线就是求解的关键了，给定这个方程任意解，都可以用等式还原我们要求的数值。”
“这一步最关键的地方就在于三元组（a：b：c）必须是投影曲线，这才可以随便乘什么常数，都能让方程成立。接下来就要用到双向有理等价了，我就直接在这个椭圆曲线上找一个最方便求解的有理数点，再带入原方程，就能求出解了。
其实到了这一步就简单了，椭圆曲线理论中，弦切技巧是生成新的有理数点的关键工具嘛。只要在椭圆曲线上找到两个已知的有理数点:P1跟P2，就能通过加法生成新的有理数点。
接下来就是直接在构造切线了，这个时候就自然形成了一个阿贝尔群，我们要引入O这个群中的零元，根据规则，任何一个点P跟O相加时结果依然是P。
……我们再通过作P点的切线，找到P跟曲线再次相交的点，然后再计算，如果得不到整数解，就继续用连接P和2P找到与曲线的第三个交点再与O点相连找到第四个交点，不行就重复这个步骤找第五个交点……
总之就是重复这个步骤，一直到找到对应的整数解为止。不过这一步靠手算肯定不行了，只能用电脑来算，找到那个值后，再用几何程序进行迭代。
最后计算9P才是整数，然后就是用得到的9P的值，做9次几何程序迭代，最后就能得出上述这个方程